現在我們來實現一個完整的複數運算程序。在上一節我們已經定義了複數的結構體類型，現在需要圍繞它定義一些函數。複數可以用直角座標或極座標表示，直角座標做加減法比較方便，極座標做乘除法比較方便。如果我們定義的複數結構體是直角座標的，那麼應該提供極座標的轉換函數，以便在需要的時候可以方便地取它的模和輻角：

#include <math.h>

struct complex_struct {
	double x, y;
};

double real_part(struct complex_struct z)
{
	return z.x;
}

double img_part(struct complex_struct z)
{
	return z.y;
}

double magnitude(struct complex_struct z)
{
	return sqrt(z.x * z.x + z.y * z.y);
}

double angle(struct complex_struct z)
{
	return atan2(z.y, z.x);
}

此外，我們還提供兩個函數用來構造複數變數，既可以提供直角座標也可以提供極座標，在函數中自動做相應的轉換然後返回構造的複數變數：

struct complex_struct make_from_real_img(double x, double y)
{
	struct complex_struct z;
	z.x = x;
	z.y = y;
	return z;
}

struct complex_struct make_from_mag_ang(double r, double A)
{
	struct complex_struct z;
	z.x = r * cos(A);
	z.y = r * sin(A);
	return z;
}

在此基礎上就可以實現複數的加減乘除運算了：

struct complex_struct add_complex(struct complex_struct z1, struct complex_struct z2)
{
	return make_from_real_img(real_part(z1) + real_part(z2),
				  img_part(z1) + img_part(z2));
}

struct complex_struct sub_complex(struct complex_struct z1, struct complex_struct z2)
{
	return make_from_real_img(real_part(z1) - real_part(z2),
				  img_part(z1) - img_part(z2));
}

struct complex_struct mul_complex(struct complex_struct z1, struct complex_struct z2)
{
	return make_from_mag_ang(magnitude(z1) * magnitude(z2),
				 angle(z1) + angle(z2));
}

struct complex_struct div_complex(struct complex_struct z1, struct complex_struct z2)
{
	return make_from_mag_ang(magnitude(z1) / magnitude(z2),
				 angle(z1) - angle(z2));
}

可以看出，複數加減乘除運算的實現並沒有直接訪問結構體complex_struct的成員x和y，而是把它看成一個整體，通過調用相關函數來取它的直角座標和極座標。這樣就可以非常方便地替換掉結構體complex_struct的存儲表示，例如改為用極座標來存儲：

#include <math.h>

struct complex_struct {
	double r, A;
};

double real_part(struct complex_struct z)
{
	return z.r * cos(z.A);
}

double img_part(struct complex_struct z)
{
	return z.r * sin(z.A);
}

double magnitude(struct complex_struct z)
{
	return z.r;
}

double angle(struct complex_struct z)
{
	return z.A;
}

struct complex_struct make_from_real_img(double x, double y)
{
	struct complex_struct z;
	z.A = atan2(y, x);
	z.r = sqrt(x * x + y * y);
}

struct complex_struct make_from_mag_ang(double r, double A)
{
	struct complex_struct z;
	z.r = r;
	z.A = A;
	return z;
}

雖然結構體complex_struct的存儲表示做了這樣的改動，add_complex、sub_complex、mul_complex、div_complex這幾個複數運算的函數卻不需要做任何改動，仍然可以用，原因在於這幾個函數只把結構體complex_struct當作一個整體來使用，而沒有直接訪問它的成員，因此也不依賴于它有哪些成員。我們結合下圖具體分析一下。

圖 7.3. 數據抽象

這裡是一種抽象的思想。其實“抽象”這個概念並沒有那麼抽象，簡單地說就是“提取公因式”：ab+ac=a(b+c)。如果a變了，ab和ac這兩項都需要改，但如果寫成a(b+c)的形式就只需要改其中一個因子。

在我們的複數運算程序中，複數有可能用直角座標或極座標來表示，我們把這個有可能變動的因素提取出來組成複數存儲表示層：real_part、img_part、magnitude、angle、make_from_real_img、make_from_mag_ang。這一層看到的數據是結構體的兩個成員x和y，或者r和A，如果改變了結構體的實現就要改變這一層函數的實現，但函數介面不改變，因此調用這一層函數介面的複數運算層也不需要改變。複數運算層看到的數據只是一個抽象的“複數”的概念，知道它有直角座標和極座標，可以調用複數存儲表示層的函數得到這些座標。再往上看，其它使用複數運算的程序看到的數據是一個更為抽象的“複數”的概念，只知道它是一個數，像整數、小數一樣可以加減乘除，甚至連它有直角座標和極座標也不需要知道。

這裡的複數存儲表示層和複數運算層稱為抽象層（Abstraction Layer），從底層往上層來看，複數越來越抽象了，把所有這些層組合在一起就是一個完整的系統。組合使得系統可以任意複雜，而抽象使得系統的複雜性是可以控制的，任何改動都只侷限在某一層，而不會波及整個系統。著名的計算機科學家Butler Lampson說過：“All problems in computer science can be solved by another level of indirection.”這裡的indirection其實就是abstraction的意思。

int main(void)
{
	struct rational a = make_rational(1, 8); /* a=1/8 */
	struct rational b = make_rational(-1, 8); /* b=-1/8 */
	print_rational(add_rational(a, b));
	print_rational(sub_rational(a, b));
	print_rational(mul_rational(a, b));
	print_rational(div_rational(a, b));

	return 0;
}